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By A. N. Parshin (auth.), A. N. Parshin, I. R. Shafarevich (eds.)

ISBN-10: 3540637044

ISBN-13: 9783540637042

ISBN-10: 3642580130

ISBN-13: 9783642580130

From the reports of the 1st printing of this e-book, released as quantity fifty eight of the Encyclopaedia of Mathematical Sciences:
"... This booklet should be very priceless as a reference and consultant to researchers and graduate scholars in algebra and and topology." Acta Scientiarum Mathematicarum, Ungarn, 1994 "... The publication less than assessment comprises monographs on geometric features of workforce concept: Combinatorial crew idea and primary teams" by means of D.J.Collins and H.Zieschang ...: "Some difficulties of staff concept on the topic of geometry" through R.I.Grigorchuk and P.F.Kurchanov. ... jointly, those articles shape a wide-ranging survey of combinatorial staff conception, with emphasis greatly at the geometric roots of the topic. this may be an invaluable reference paintings for the specialist, in addition to supplying an outline of the topic for the outsider or amateur. many alternative issues are defined and explored, with the most effects offered yet now not proved. this permits the reader to get the flavor of those themes with out turning into slowed down intimately. either articles supply accomplished bibliographies, in order that it really is attainable to take advantage of this ebook because the place to begin for a extra precise learn of a selected subject of curiosity. ... In precis, a really attention-grabbing publication! Bulletin of the London Mathematical Society, 1996 "... In either essays the authors supply transparent and finished definitions, examples and statements (but now not proofs) of theorems, in order that the e-book could be understood via a reader with a minimum historical past in team thought or geometry. any such reader, wanting to determine what's identified during this sector, will locate this a whole and obtainable shop of information." modern Physics, 1994 "...This survey (Part II) provides for the 1st time that difficulties in monograph shape and incidentally deals a unifying therapy of many of the methods to their recommendations, so far as they're identified, including tricks to open difficulties. A titbit for each reader!" Monatshefte für Mathematik, 1995

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Download e-book for kindle: Représentations linéaires des groupes finis by Serre J Pierre

Creation du livre par l’auteur :

    Ce livre est shapeé de trois events, de niveaux et de buts assez différents :

    La première partie a été écrite à l’usage des chimistes théoriciens. Elle divulge l. a. correspondance, due à Frobenius, entre représentations linéaires et caractères. Il s’agit de résultats fondamentaux, d’usage consistent aussi bien en mathématique qu’en chimie quantique, ou en body. J’ai essayé d’en donner des démonstrations aussi élémentaires que attainable, n’utilisant que l. a. définition même d’un groupe et les rudiments de l’algèbre linéaire. Les exemples (§ 5) ont été choisis parmi ceux qui sont utiles aux chimistes.

    La deuxième partie est un cours donné en 1966 aux élèves de seconde année de l’École Normale. Elle complète los angeles première sur les issues suivants :
a) Degrés des représentations et propriétés d’intégralité des caractères (§ 6).
b) Représentations induites, théorèmes d’Artin et de Brauer, et applications (§§ 7 à 11).
c) Questions de rationalité (§§ 12 et 13).
    Les moyens utilisés sont ceux de l’algèbre linéaire (en un sens plus huge que pour l. a. première partie) : algèbres de groupes, modules, produits tensoriels non commutatifs, algèbres semi-simples.

    La troisième partie est une advent à los angeles théorie de Brauer : passage de los angeles caractéristique zero à l. a. caractéristique p (et inversement). J’ai utilisé librement le langage des catégories abéliennes (modules projectifs, groupes de Grothendieck), bien adapté à ce style de question.
    Les principaux résultats sont :
a) Le fait que l’homomorphisme de décomposition est surjectif : toute représentation irréductible de caractéristique p peut être relevée « virtuellement » (i. e. dans un groupe de Grothendieck convenable) en caractéristique 0.
b) Le théorème de Fong-Swan permettant de supprimer le mot « virtuellement » de l’énoncé précédent, pourvu que le groupe considéré soit
p-résoluble.
    J’ai également donné quelques purposes aux représentations d’Artin.

===== desk des matières =====

Introduction

I. Représentations et caractères

    § 1. Généralités sur les représentations linéaires
        1. 1. Définitions
        1. 2. Premiers exemples
        1. three. Sous-représentations
        1. four. Représentations irréductibles
        1. five. Produit tensoriel de deux représentations

    § 2. Théorie des caractères
        2. 1. Le caractère d’une représentation
        2. 2. Le lemme de Schur; premières applications
        2. three. Les kinfolk d’orthogonalité des caractères
        2. four. Décomposition de l. a. représentation régulière
        2. five. Nombre des représentations irréductibles
        2. 6. l. a. décomposition canonique d’une représentation
        2. 7. Décomposition explicite d’une représentation

    § 3. Sous-groupes, produits, représentations induites
        3. 1. Sous-groupes commutatifs
        3. 2. Produit de deux groupes
        3. three. Représentations induites

    § 4. Extension aux groupes compacts
        4. 1. Groupes compacts
        4. 2. Mesure invariante sur un groupe compact
        4. three. Représentations linéaires des groupes compacts

    § 5. Exemples
        5. 1. Le groupe cyclique C_n
        5. 2. Le groupe C_∞
        5. three. Le groupe diédral D_n
        5. four. Le groupe D_nh
        5. five. Le groupe D_∞
        5. 6. Le groupe D_∞h
        5. 7. Le groupe alterné A₄
        5. eight. Le groupe symétrique S₄
        5. nine. Le groupe du cube

    Bibliographie (Partie I)

II. Représentations en caractéristique zéro

    § 6. L’algèbre du groupe
        6. 1. Représentations et modules
        6. 2. Décomposition de C[G]
        6. three. Le centre de C[G]
        6. four. Rappels sur les entiers
        6. five. Propriétés d’intégralité des caractères. Applications

    § 7. Représentations induites; critère de Mackey
        7. 1. Rappels
        7. 2. Caractère d’une représentation induite; formule de réciprocité
        7. three. limit aux sous-groupes
        7. four. Critère d’irréductibilité de Mackey

    § 8. Exemples de représentations induites
        8. 1. Sous-groupes distingués; purposes aux degrés des représentations irréductibles
        8. 2. Produits semi-directs par un groupe commutatif
        8. three. Rappels sur certaines periods de groupes finis
        8. four. Théorème de Sylow
        8. five. Représentations linéaires des groupes hyper-résolubles

    § 9. Théorème d’Artin
        9. 1. L’anneau R(G)
        9. 2. Énoncé du théorème d’Artin
        9. three. Première démonstration
        9. four. Deuxième démonstration de i) ⇒ ii)

    § 10. Théorème de Brauer
        10. 1. Éléments p-adiques; sous-groupes p-élémentaires
        10. 2. Caractères induits provenant des sous-groupes p-élémentaires
        10. three. development de caractères
        10. four. Démonstration des théorèmes 18 et 18'
        10. five. Théorème de Brauer

    § 11. purposes du théorème de Brauer
        11. 1. Caractérisations des caractères
        11. 2. Un théorème de Frobenius
        11. three. Réciproque du théorème de Brauer
        11. four. Spectre de A ⨂ R(G)

    § 12. Questions de rationalité
        12. 1. Les anneaux de R_K(G) et \\bar{R}_K(G)
        12. 2. Indices de Schur
        12. three. Réalisabilité sur les corps cyclotomiques
        12. four. Rang du groupe R_K(G)
        12. five. Généralisation du théorème d’Artin
        12. 6. Généralisation du théorème de Brauer
        12. 7. Démonstration du théorème 28

    § 13. Questions de rationalité : exemples
        13. 1. Le cas du corps des nombres rationnels
        13. 2. Le cas du corps des nombres réels

    Bibliographie (Partie II)

III. advent à l. a. théorie de Brauer

    § 14. Les groupes R_K(G), R_k(G) et P_k(G)
        14. 1. Les anneaux R_K(G) et R_k(G)
        14. 2. Les groupes P_k(G) et P_A(G)
        14. three. constitution de P_k(G)
        14. four. constitution de P_A(G)
        14. five. Dualités
        14. 6. Extension des scalaires

    § 15. Le triangle cde
        15. 1. Définition de c : P_k(G) → R_k(G)
        15. 2. Définition de d : R_K(G) → R_k(G)
        15. three. Définition de e : P_k(G) → R_K(G)
        15. four. Premières propriétés du triangle cde
        15. five. Exemple : le cas des p'-groupes
        15. 6. Exemple : le cas des p-groupes
        15. 7. Exemple : produits de p'-groupes et de p-groupes

    § 16. Théorèmes
        16. 1. Propriétés du triangle cde
        16. 2. Caractérisation de l’image de e
        16. three. Caractérisation des A[G]-modules projectifs par leur caractère
        16. four. Exemples de A[G]-modules projectifs : représentations irréductibles de défaut nul

    § 17. Démonstrations
        17. 1. Changement de groupe
        17. 2. Le théorème de Brauer dans le cas modulaire
        17. three. Démonstration du théorème 33
        17. four. Démonstration du théorème 35
        17. five. Démonstration du théorème 37
        17. 6. Démonstration du théorème 38

    § 18. Caractères modulaires
        18. 1. Le caractère modulaire d’une représentation
        18. 2. Indépendance des caractères modulaires
        18. three. Traductions
        18. four. Une part de d
        18. five. Exemple : caractères modulaires du groupe symétrique S₄
        18. 6. Exemple : caractères modulaires du groupe alterné A₄

    § 19. software aux représentations d’Artin
        19. 1. Représentations d’Artin et de Swan
        19. 2. Rationalité des représentations d’Artin et de Swan
        19. three. Un invariant

    Annexe

    Bibliographie (Partie III)

Index des notations
Index terminologique

Extra resources for Algebra VII: Combinatorial Group Theory Applications to Geometry

Sample text

G I I d A If CI E I and zaci = a c i 'F, if CI E G I and zaci = a' EA. If 9 = aCI ... Cn as in the statement of the theorem, then g applied to the trivial sequence (1) yields (a, CI, ... , cn) and the result follows. 5 can be derived by a similar argument. In both cases the integer n is referred to as the length (relative to the given decomposition of G) of the element g. 6. Corollary. The natural maps embed the factors of a free product with amalgamation and the base group of an HNN-extension.

Now assume that C is a connected graph, v a vertex of C and U a subgroup of 7rl (C, v). We will show that there is a covering p : C' --+ C such that U = P#(7rl(C',V')) where v' E p-l(v). For convenience let us assume that C has only one vertex. Let gi, i E I be a system of representatives of the right cosets U g of 7rl (C); here U shall be represented by the trivial element go = 1. For each coset U gi we take a point v;. If a is an edge of C then it represents an element [a] E 7rl (C, v). For i E J we take an edge a; with initial vertex and terminal vertex v~ where k E J is defined by the equation U(gi .

1 many Whitehead automorphisms will replace u and v by minimal words Uo and Vo. 9, Uo can be transformed into Vo by a sequence of applications of permutation and Whitehead automorphisms in such a way that the lengths of the intermediate words obtained are the same as the length of Uo and Vo. This means that the number of automorphisms in the sequence can be bounded in terms of the length of Uo and the result follows. We illustrate the theorem with examples. 10. Example. Let X = {s, t}. Then a non-trivial Whitehead automorphism must fix one of the generators, say s, and map t to ts±l, s'flt or s'flts±1.

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Algebra VII: Combinatorial Group Theory Applications to Geometry by A. N. Parshin (auth.), A. N. Parshin, I. R. Shafarevich (eds.)


by William
4.3

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